* 정의
m x n 행렬 M은 m개의 행과 n개의 열로 이루어진 실수들의 정사각 배열이다. 행(row)들의 갯수와 열(column)들의 갯수의 곱( ex. 4 x 4 )을 행렬의 차원이라고 부른다.
행렬을 구성하는 수들을 성분(entry) 또는 원소(element)라고 부른다.
행렬의 한 성분을 나타낼 때에는 그 성분의 행과 열 번호를 이중 아래 첨자로 지정한 M ij(여기서는 아래 첨자 대신 이런식으로 표기) 형태의 표기를 사용한다. 여기서 첫 아래 첨자는 행을 둘째 아래 첨자는 열을 나타낸다.
* 사용예시
3차원 컴퓨터 그래픽에서 비례나 회전, 이동 같은 기하학적 변환을 간결하게 서술하는 데 쓰이며, 점이나 벡터의 좌표를 한 기준계에서 다른 기준계로 변환하는 데에도 쓰인다.
* 행벡터와 열벡터
행렬중 행이 하나이거나 열이 하나인 특별한 행렬이 존재한다. 이런 종류의 행렬을 행벡터(row vector)와 열벡터(column vector)라고 부르는데, 이는 벡터를 행렬 형태로 표기할 때 쓰인다.
* 기본 행렬 연산
- 상등
두 행렬은 오직 대응되는 성분들이 상들일 때만 상등이다. 따라서 상등을 비교하기 위해서는 두 행렬의 행과 열의 수가 같아야 한다. (즉, 두 행렬의 차원이 같아야 한다.)
- 덧셈
대응되는 성분들을 더한다. 차원이 같은 행렬만 더할 수 있다.
덧셈에 대한 교환법칙과 결합법칙이 성립한다.
A + B = B + A
A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
- 스칼라 곱셈
행렬에 하나의 스칼라를 곱할 때 행렬의 모든 성분에 그 스칼라를 곱한다.
행렬들에 대한 스칼라의 분배법칙과 스칼라들에 대한 행렬의 분패법칙이 성립한다.
r( A + B ) = rA + rB
( r + s )A = rA + sA
- 뻴셈
행렬의 뺄셈은 스칼라 곱셈과 행렬 덧셈으로 정의한다.
즉, A - B = A + (-1 * B) = A + (-B) 이다.
* 행렬의 곱셈
- 행렬과 행렬의 곱셈
만일 A가 m x n 행렬이고 B가 n x p 행렬이면 둘의 곱 AB가 정의 된다. 곱 AB는 하나의 m x p 행렬이다.
이를 C라고 할 때 C의 ij번째 성분은 A의 i번째 행벡터와 B의 j번째 열벡터의 내적이다.
C ij = A i,* · B *,j
따라서 행렬의 곱 AB가 정의되려면 A의 열 수와 B의 행 수가 같아야 한다. 다른말로 A의 행벡터의 차원과 B의 열벡터의 차원이 같아야 한다.
A의 열 수가 B의 행 수가 같아도 B의 열 수가 A의 행 수와 같다고 보장할 수 없다.
따라서 행렬 곱셈에서 교환법칙이 성립하지 않는다. AB != BA
- 벡터와 행렬의 곱셈
벡터는 열벡터나 행벡터를 사용해서 행렬과 곱셈을 할 수 있는데, 1번은 Unreal, DirectX에서 사용하는 방식이고, 2번은 Unity, OpenGL에서 사용하는 방식이다. 여기서는 1번을 사용해서 나타낸다. 둘 다 결과는 같다.
결과로 나오는 행렬의 성분은 u와 각 A행렬의 열 벡터와의 내적이다.
uA = (u · A *,1 , u · A *,2 , u · A *,3)
= (xA11 xA12 xA13) + (yA21 yA22 yA23) + (zA31 zA32 zA33)
uA = xA1,* + yA2,* + zA3,*
이는 uA가 행렬 A의 행벡터들과 벡터 u로 주어진 스칼라 계수 x, y, z의 선형 결합에 해당함을 의미한다. 이는 차수가 늘어나도 동일하게 적용된다.
- 행렬의 곱셈에서 만족하는 법칙
행렬의 곱셈은 덧셈에 대한 분배법칙을 만족한다.
A (B + C) = AB + AC
행렬의 곱셈은 결합법칙을 만족한다.
A(BC) = A(BC)
* 전치행렬
행렬의 전치(transpose), 전치행렬은 행렬의 행들과 열들을 맞바꾼 것이다. 따라서 m x n 행렬의 전치는 n x m 행렬이다.
표현과 성질은 다음과 같다.
* 단위행렬
단위행렬(identity matrix)이라고 부르는 특별한 행렬이 있다. 열 수와 행 수가 같은 정사각형의 행렬을 정방행렬(square matrix)라고 부르고 정방행렬에서 좌상에서 우하로의 주된 대각선에 있는 성분들을 주대각(main diagonal) 성분이라고 부르는데, 단위행렬은 주대각 성분들만 1이고 나머지는 모두 0인 정방행렬이다.
단위 행렬은 곱셈의 항등원 역할을 한다.
I를 단위행렬(n x n)이라고 하면 A(m x n), B(n x p) 행렬에 대하여
A I = A , I B = B를 만족한다.
M이 n x n 행렬일 때는 다음을 만족한다.
MI = IM = M
* 행렬식
행렬식(determinant)은 정방행렬을 입력받아서 실숫값을 출력하는 특별한 함수이다. 정방행렬 A의 행렬식을 det A로 표현한다.
기하학적으로도 의미가 있고, 다른 곳에서도 쓰이지만 여기서는 간단히 역행렬을 구하는 용도로 사용한다.
정방행렬 A는 만일 det A != 0 이면, 그리고 오직 그럴 때만 가역행렬(역행렬이 존재하는 행렬)이다.
- 소행렬
- 행렬식의 정의
행렬의 행렬식은 재귀적으로 정의된다. 예를 들어 4 x 4 행렬의 행렬식은 3 x 3 행렬의 행렬식들로 정의되고, 3 x 3 행렬의 행렬식은 2 x 2 행렬의 행렬식들로 정의되고, 2 x 2 행렬의 행렬식은 1 x 1 행렬의 행렬식들로 정의된다.
1 x 1 행렬 A = ( A11 ) 의 행렬식은 det ( A11 ) = A11로 정의된다.
최종적으로 정리해보면 식은 다음과 같다.
이는 모든 행 i({1, … , n}의 원소)에 대하여 같은 함수를 정의한다.
* 딸림행렬
A가 n x n 행렬일 때 A ij의 여인수는 이과 같이 정의된다.
여기서 A의 각 성분의 C ij를 계산해서 해당 ij번째 위치에 배치한 행렬인
* 역행렬
행렬 대수는 나눗셈 연산을 정의하지 않으나 곱셈의 역원은 정의한다. 행렬 대수에서 곱셈의 역원을 행렬의 역(inverse) 또는 역행렬이라고 부른다. 다음은 역행렬의 성질이다.
